はかせちゃん
ぜひ、楽しんでいってください。ふっふっふ。
問題一覧
・難問5(関係を表す式・複雑) ※中2範囲の連立方程式の知識が必要な問題でした
難問1(文字式・正負の数)
$a=3, b=-\dfrac{1}{3}$のとき, $13a^2b \times -\dfrac{5}{8}a^3b^2 \div (\dfrac{1}{4}ab)^2$ の値を求めよ
解説
POINT:
- いきなり代入せずに、文字式を簡単にする
- 先に定数は計算せずに、約分段階まで置いておく
いきなり代入してしまうと計算がすごく複雑になるから、
先に文字式を簡単にしていくことが大事だよ
先に定数は計算せずに、置いておくと
計算が簡単になって、
時短・ミス減少になることが多いよ
解答:
$13a^2b \times -\dfrac{5}{8}a^3b^2 \div (\dfrac{1}{4}ab)^2$
$=-\dfrac{13\times5}{8}a^5b^3 \times \dfrac{4^2}{a^2 b^2}$
$=-\dfrac{13\times 5 \times 4^2}{8}a^3b$
$=\dfrac{13\times 5 \times 4^2 \times 3^3}{8 \times 3}$
$=13\times 5 \times 2 \times 3^2$
$=1170$
はかせちゃん
難問2(1次方程式・正負の数)
$3(\dfrac{x+1}{5}-2)+5 =$$ \dfrac{3}{4}(\dfrac{3x+2}{3}+7)$ を解け
解説
POINT:
- 途中式を省かずに書く(計算ミスを減らす)
- 常に計算の工夫ができないか考える
複雑な問題になればなるほど、計算ミスは起こってくるよ
計算ミスの原因は、
- 複数の計算を同時にする(途中式を省く)
- 字が汚くて見間違える
が多いよ
だから、途中式はしっかり書こう
また、複雑な問題には計算順序などを工夫することで簡単になる問題が多い
だから、計算が簡単になるにはどうすれば考える姿勢を常に持っておこう
解答:
$3(\dfrac{x+1}{5}-2)+5 =$$ \dfrac{3}{4}(\dfrac{3x+2}{3}+7)$
∴ $3(\dfrac{x+1}{5}-2+\dfrac{5}{3}) = \dfrac{3}{4}(\dfrac{3x+2}{3}+7)$
∴ $3(\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{3}{4}(\dfrac{3x+2}{3}+7)$
∴ $4(\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{1}{3}) = (\dfrac{3x+2}{3}+7)$
∴ $\dfrac{4 \cdot (x+1)}{5}-\dfrac{4 \cdot 1}{3} = \dfrac{3x+2}{3}+7$
∴ $3 \cdot 4(x+1)-5 \cdot 4 = 5(3x+2)+15 \cdot 7$
∴ $12x+12-20 = 15x+10+105$
∴ $-3x = 123$ ∴ $x = -41$
はかせちゃん
難問3(関係を表す式・不等号・割合)
次の文章の関係を、不等号を用いて表せ。去年はひよこ(大)がx匹、ねこがy匹だったが今年は去年に比べてひよこ(大)が8%減って、ねこが3%増えたので、今年はひよこ(大)よりねこの数のほうが多い。

解説
POINT:
- %は$\dfrac{??}{100}$の形に直す
- 結論から順番に立式して考える
結論から順に考えるというのは、
今回の場合なら、
今年の ひよこ(大)の数 < ねこの数
まずはこれが結論だね
今年のひよこ(大)の数は、
去年のひよこの数+今年増加したひよこの数
だから、
$x+(-\dfrac{8}{100}x)$$=$$\dfrac{92}{100}x$
同じようにして、今年のひよこの数は
$y+\dfrac{3}{100}y$$=$$\dfrac{103}{100}y$
最後は、ひよこ(大)の数 < ねこの数 に当てはめるだけだね
解答:
$\dfrac{92}{100}x < \dfrac{103}{100}y$
はかせちゃん
難問4(関係を表す式・等式・規則性)
ペットボトル $400$ 本を使って、以下のような図形を作った。このとき、正方形はいくつできるか答えなさい。

解説
POINT:
- 具体例から、規則性を見つけ出す
今回の場合なら、
まず一つ目の正方形を作るのには
4本ペットボトルが必要になるよね
二つ目は追加して、3本ペットボトルが必要になる
三つ目も追加して、3本ペットボトルが必要になる
四つ目も追加して、3本ペットボトルが必要になる…
もうわかったかな、初めの1つは4つで、それ以降は3つずつ足していく
が規則だね
じゃあ、これを式に表すと、$x$ 個の正方形を作るには
$4+3(x-1)$ 個のペットボトルが必要だね
ちなみに、$4$ は、はじめの1つに必要な本数。
$3(x-1)$ は、初めの1つ以外の正方形を作るのに必要な本数
じゃあ、400個のペットボトルがあれば、
$4+3(x-1)=400$ を解けばいくつの正方形が作れるか出るね
解答:
$4+3(x-1)=400$
∴ $4+3x-3=400$
∴ $3x=399$ ∴ $x=133$
A. $133個作れる$
はかせちゃん
難問5(関係を表す式・複雑)
※中2範囲の連立方程式の知識が必要な問題でした
連立方程式がわかる人のみ挑戦してください。
超巨大プリンを作るために、容積が1800Lの特殊容器を用意した。プリンの溶液が流れてくる魔法の川から特殊容器にプリン液を移し替えるために、ポンプA,Bを同時に50分間運転し、1000Lたまったところで中断した。そこに、ポンプAを4台追加し運転を再開したところ、10分後に特殊容器はいっぱいになった。このとき、ポンプA,Bが1分間にくみ上げるプリン溶液の量は、それぞれ何Lか求めなさい。

解説
POINT:
- 求めるものを変数で置き換える
- 変数がいくつになるか見極める
- 変数の数分、方程式を作る
- 方程式は問題文の変化ポイントを見極めてたてる
今回は、ポンプA,Bが1分間にくみ上げるプリン溶液の量
つまり、速さ(L/分)が求めるものだから、
ポンプAが1分間にくみ上げるプリン溶液の量を $x$
ポンプBが1分間にくみ上げるプリン溶液の量を $y$
と置くよ。
じゃあ、変数は2つだから、方程式も2つ必要だね!
次に問題文の変化ポイントを探していくよ
今回は、
ポンプA,Bを同時に50分間運転し、1000Lたまったところで中断した。
ここが明らかに場面の変化ポイントだよね
だから、この前後で方程式が立てれないか考えてみるよ
すると、
ポンプA,Bを同時に50分間運転し、1000Lたまったところで中断した。
➡ $50x+50y=1000$
ポンプAを4台追加し運転を再開したところ、10分後に特殊容器はいっぱいになった。
➡ $10\times (1+4)x + 10y = (1800-1000)$
って式が立てられるよね!
あとは、この連立方程式を解くだけだよ
解答:
「ポンプA,Bが1分間にくみ上げるプリン溶液の量」
をそれぞれ $x, y$ と置く。
すると、方程式
$50x+50y=1000$-➀
$10\times (1+4)x + 10y = (1800-1000)$-➁
をたてることができ、これらを連立させて解く。
$10\times (1+4)x + 10y = (1800-1000)$
∴ $50x + 10y = 800$
∴ $5x + y = 80$
∴ $y = 80-5x$-➂
これを①に代入し、
$50x+50(80-5x)=1000$
∴ $x+(80-5x)=20$
∴ $-4x=-60$ ∴ $x=15$
これを➂に代入し、
$y = 80-5 \times 15 = 5$
A. ポンプA : $15$L,ポンプB : $5$L
はかせちゃん
まとめ
入試問題の類題も何問か含まれてたから、これが解けたら
図形問題以外の中1範囲はほぼ完ぺきと言っていいと思うよ
この調子で勉強頑張っていこう!
もっと難問を解きたい人は、
で難問に挑戦してみてね
はかせちゃん
お疲れ様でした~
難問1が問題は-2/5a3乗b2乗となっているところが解答では
-5/8a3乗b2乗と数が変わってしまっているので、解答になっていません。
ゆうたさん
ご指摘頂き誠にありがとうございます。
ご迷惑をお掛けし、申し訳ございません。
すぐに問題文を修正させていただきました。
難題5の解説(オレンジ色の文字)ではポンプAを3台追加し運転を再開したところ、10分後に特殊容器はいっぱいになった。と書いてありますが、3台のところは4台ではないのですか?
確認遅くなってしまい申し訳ございません。
はい、その通りですので修正させていただきます。
ご連絡ありがとうございます!