分数の連立方程式で分母が文字の場合の解き方【解答3通り】

置き換えを使って賢く求める

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=-\dfrac{5}{2}$―➀,    $\dfrac{8}{x}+\dfrac{2}{y}=10$―➁であるとき、$x,y$  の値を求めよ。

こんなの出てきたら困っちゃうかな？

ポイント：$A=\dfrac{1}{x}$,   $B=\dfrac{1}{y}$とする

こうすると、問題の式は

$A-B=-\dfrac{5}{2}$―③,   $8A+2B=10$―④  になるよね

はじめてこの問題を解いてみて、この解き方が思いつかないのは当たり前

でも、どうしたらいつもの形になるかって視点を持つことは大事だよ

よし、これでいつもの連立方程式と同じだね

③より、$A=B-\dfrac{5}{2}$  これを④に代入して、

$8B-20+2B=10$　∴ $10B=30$　∴ $B=3$

これをまた④に代入して、

$8A+6=10$  ∴ $A=\dfrac{1}{2}$

$A=\dfrac{1}{x}$ に $A=\dfrac{1}{2}$ を代入して、$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x}$　∴ $x=2$

$B=\dfrac{1}{y}$ に $B=3$ を代入して、$3=\dfrac{1}{y}$　∴ $y=\dfrac{1}{3}$

この、分数の文字を別の文字で置き換える解き方は、

分母に文字がある連立方程式ではよく使うよ

ただし！

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=-\dfrac{5}{2}$―➀,    $\dfrac{8}{x-2}+\dfrac{2}{y+1}=10$―➁であるとき、$x,y$  の値を求めよ。

みたいに、➀と➁で分母が異なってて、

置き換えても楽にならない場合があるから気を付けてね

代入法で頑張って求める

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=-\dfrac{5}{2}$―➀,    $\dfrac{8}{x}+\dfrac{2}{y}=10$―➁であるとき、$x,y$  の値を求めよ。

ポイント：$x=〇〇$の形にこだわらないこと。

2式が同じ形なら、無理にいつもの形にせずに

そのまま分数の形で使うことで、形を活かすのがいいよ

➀より、$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}-\dfrac{5}{2}$

これを➁に代入して、

$\dfrac{8}{y}-20+\dfrac{2}{y}=10$

$y≠0$ (分母に $y$ があり、分母に０があってはいけないため)

であるから、これの両辺に $y$ を掛けて、

$8-20y+2=10y$　∴ $y=\dfrac{1}{3}$

これを➁に代入して、

$\dfrac{8}{x}+6=10$

$x≠0$ であるから、これの両辺に $x$ を掛けて、

$8+6x=10x$　∴ $x=2$

加減法で無理やり求める

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=-\dfrac{5}{2}$―➀,    $\dfrac{8}{x}+\dfrac{2}{y}=10$―➁であるとき、$x,y$  の値を求めよ。

ポイント：分母の公倍数を掛ける

これは普通の分母付きの式でもしてるよね

分母の公倍数を掛けると、整数だけのスッキリした式になるよね

今回の場合、分数の公倍数は $ab$ だよ

➀の両辺に $xy$ を掛けて、$y-x=-\dfrac{5}{2}xy$―③

➁の両辺に $xy$ を掛けて、$8y+2x=10xy$―④

③の両辺に $4$ を掛けて、$4y-4x=-10xy$―⑤

④$+$⑤より、$12y-2x=0$　∴ $x=6y$

これを、⑤に代入して

$4y-24y=-60y^2$.  $y≠0$ より、両辺を $y$ で割って、

$4-24=-60y$　∴ $y=\dfrac{1}{3}$

$x=6y$ に $y=\dfrac{1}{3}$ を代入して、$x=2$