二等辺三角形の角度を利用した難問・良問【ラングレー2題】

はかせちゃん

1問目が解けたら凄いです。
2問目が解けたらお化けです。

第1問-連続する二等辺三角形

以下の直角三角形において、$x$ は何度か

解説

まず、二等辺三角形がたくさん見つかることがわかるよね! だから、二等辺三角形の特徴である ” $2$ 角が等しい”を利用してみるよ。 すると、こんな風に文字を置けるね!

はい、カラフルになりました。 ここからどうすればいいかわかるかな? 

今回は、

  1. 文字の角度を順にxで表す
  2. 大きな直角三角形の内角の和を利用して方程式をたてる

こんな順で求めていくよ!

解けなかった人は、ここでもう一度考えてみてね!

じゃあ、続きをやっていくよ

この赤い三角形の部分に注目すると、内角と外角の関係を用いて

$a = x + x = 2x$

だね。 ちなみに、内角と外角の関係は 

こんな感じのやつだね。 つぎは、

この三角形に注目して、内角と外角の関係を用いると...

$b = x + a = x + 2x = 3x$

こんな感じで順に角度を求めていくと、

$c = x + b = x + 3x = 4x$

$d = x + c = x + 4x = 5x$

これで全部の角度が求まったね!

最後に、大きな直角三角形に注目して

$x  + d + 90 = 180$

∴   $x + 5x + 90 = 180$  

∴   $x = 15$  

はかせちゃん

ジグザグ ジグザグ ジグザグ ジグザグ。

第2問-解けそうで解けない超絶難問

以下のAC=BCの二等辺三角形において、$x$ は何度か

図形の下に2つヒントがあるよ。ひらめきが大事。証明あり。

ヒント1:補助線なしには解けない

ヒント2:複製

解説

この問題、二等辺三角形の特徴と対頂角等を利用するだけで解けしまうような気がするけど、補助線なしには解けないよ。 じゃあ、どのような補助線を引くかというと…。

なんと、ACを軸にして、折り返すように三角形をもう一つ書くと、黄色い三角形が現れたね! もうわかったかな? あとは、黄色い三角形の内角の和が180°であることを利用して…

$ x = 180 – (20 + 20  + 60 ) – 50 = 30$ 

答えは出たね!

でも、これで終わりではないよ。 答えはこれで合ってるんだけど、回答としては丸をもらえないんだ。 どうしてかわかるかな? 実は、ACを軸に補助線を引くだけでは、BD’ が直線かどうかはわからないんだ。

角度によっては、こんなふうに直線じゃなくなっちゃうよね。 だから、BD´  が直線であることを証明する必要があるよ。 これを証明するには、もう一つ三角形を付け足すんだ。

こんな感じ! すると、$∠BCE=60°$ , $∠DBG=30°$ だから、BG は △CBF の垂直二等分線である BE 上にある。そして、△CD’F  は二等辺三角形になっているから、D’ も垂直二等分線である BE 上にあるね。 だから、GD’ と BG は同じ直線だね。

まとめ

実は、今回紹介した問題は、ラングレーの問題っていうよ。 気になった人は調べてみてね!

はかせちゃん

2問とも初見で解けた人は、ほんとにすごいです…。
今日もお疲れ様でした~

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