【中学数学】連立方程式文章題の難問・応用2題【面白い題材で】

はかせちゃん

この難問を解く覚悟はできているのですね?ふっふっふ

問題1- はかせちゃんの難問

とある人は、期間限定2か月間で純金ゆうれいグッズを販売することにしました。はかせちゃん純金フィギュアを280個、貞子純金フィギュアを480個用意できました。1か月目は、はかせちゃん純金フィギュアを50万円、貞子純金フィギュアを100万円でそれぞれ販売し、はかせちゃんが $x$ 個、貞子さんが $y$ 個売れました。しかし、はかせちゃんが想像以上に売れません…。そこで2か月目は、はかせちゃん純金フィギュアを1つと貞子純金フィギュア1つをセットにして120万円で販売し、セット販売以外は行いませんでした。はかせちゃんは24個余りましたが、貞子さんは売り切れました。2か月間の売り上げは、53,600万円であったとき、$x$ , $y$ の値はそれぞれいくつでしょうか。ただし、$x$ , $y$ は自然数であるとし、消費税は考えないものとします。

解説

日本語が多いと情報が多くて混乱しちゃうよね。 じゃあ、どうすればいいのか。 それは、数字を全部抜き出して表にすることだよ! 表にすることによってすごくわかりやすくなります。 百聞は一見にしかず。 じゃあ、とりあえずやってみよう!

とりあえず、個数についてだけ抜き出してみたよ。 そして、方程式を立てる時は、合計の部分に対して立てるとうまくいくよ。 今回の場合なら、” 個数の合計=1か月目+2か月目+余り ”  って感じ!

でも、表を見てみると、2か月目のところが空白になっているよね。 そういうときは、変数で表現するんだよ。 あと、金額の情報を入れれてないから、それも入れてみるね。

こんな感じ! 変数の個数分の方程式を作ると、変数の値は確実に求まるから、頑張って方程式を3つ作ってみよう。 合計の部分に注目するのがポイント! すると、はかせちゃんの個数・貞子さんの個数・金額の3つの合計が見つかるね! じゃあ、方程式を立ててみるよ。

$x+z+24=280-➀$

$y+z=480-➁$

$50x+100y+120z = 53600-➂$

こんな感じ! あとは、解いていくだけだね。

➀より、$x = 256 – z-➃$

➁より、$y = 480 – z-⑤$

これらを➂に代入して、

$50(256 – z)+100(480-z)+120z = 53600$

∴ $5(256 – z)+10(480-z)+12z = 5360$

∴ $1280-5z+4800-10z+12z=5360$

∴ $-3z=-720$

∴ $z=240$

これを④、⑤にそれぞれ代入して、

$x=16$ , $y=240$

はかせちゃん

なんで、なんで、はかせが売れ残ってるのですか…🔪

問題2- RPG風の難問

とあるゲームにおいて、2体のボスが連続して登場する(ただし、1体目のボスに負けても、2体目のボスは登場するものとする)、MAXスコアが200点のボスステージに40人のユーザーが挑戦した。1体目のボスのスコアを80点、2体目のボスのスコアを120点とすると、ユーザーの平均スコアが110点。また、1体目のボスのスコアを70点、2体目のボスのスコアを130点とすると、ユーザーの平均スコアが108.75点になった。1体目を攻略できたのは、20人であり、全プレイヤーは少なくとも1体のボスには勝利したことはわかっている。このとき、1体目と2体目のボスを共に攻略したユーザーの人数を求めることができるように、方程式をたてよ。ただし、各ボスに部分的なスコアはなく、ボス攻略以外のスコアが与えられることはないものとする。

※問題に誤りがあったため、修正させていただきました。誠に申し訳ございません。2019/12/25

解説

やることは一緒! まずは、情報を表にまとめて整理しよう。 平均スコアのままだと扱いにくいから、合計スコアにしてしまうのがポイントだよ

こんな感じ! じゃあ、今回も合計の部分に注目して式をたてていくよ

$80x+120y+200z = 4400-➀$

$70x+130y+200z = 4350-➁$

$x+y+z = 40-➂$

終わり!

一応、解いてみると

 $①-➁$ をして、

$10x-10y=50$  ∴ $x=5+y-➃$

これを➂に代入して、

$5+2y+z=40$ ∴ $z=35-2y-⑤$

これを①に代入して、

$80(5+y)+120y+200(35-2y) = 4400$

∴ $8(5+y)+12y+20(35-2y) = 440$

∴ $40+8y+12y+700-40y = 440$

∴ $-20y = -300$

∴ $y = 15$

これを⑤に代入して、

$z=5$

はかせちゃん

ドット絵っていいですよね~♪

まとめ

連立方程式の文章題は、数値情報を抜き取って、表にまとめよう!

はかせちゃん

今日もお疲れ様でした~

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2 COMMENTS

ぽんたぁ

問題2は解けないです
式③はおかしいです(ボスを両方攻略できなかったユーザが考慮されていないため)。
問題には「1体目を攻略できたのは、20人であったことはわかっているとき」とあるので、
x+z=20 ・・・③’
が正しいはず
この時、式①、式②、式③’は互いに独立ではないので解けません

もう一点、普通は「ゲームにおいて、2体のボスが連続して登場する」のであれば、2体目のボスに挑戦するためには、1体目のボスを倒すことが条件であると理解します
1体目のボスに負けても2体目のボスに挑戦できるのであれば、それは「独立に挑戦している」のであって、ボスが「連続して登場する」とは言い難いです
問題文には、1体目のボスに勝利することが2体目のボスに挑戦することの条件となっているかどうかは明確にされていません。そのため、一意に立式することができません
いずれの解釈でも解けないことに変わりはないのですけども(1体目撃破が2体目の挑戦の条件とすると、式①と式②が矛盾する)

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admin

丁寧にご指摘していただき、誠にありがとうございます。
・式③はおかしいです(ボスを両方攻略できなかったユーザが考慮されていないため)。
・もう一点、普通は「ゲームにおいて、2体のボスが連続して登場する」のであれば、2体目のボスに挑戦するためには、1体目のボスを倒すことが条件であると理解します
どちらもごもっともなご指摘です。
ご迷惑をおかけし、誠に申し訳ございません。
すぐに修正させていただきます。

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