平行四辺形の面積を対角線の長さと角度から求める【解説図付き】

はかせちゃん

新元号、令和が発表されたとき、はかせは寝てしまってました…。
ライブで見たかった(´;ω;`)
この記事は、そんなことを思いながら書いたものです。

平行四辺形の特徴

平行四辺形の特徴はこんな感じ!

 

 

有名なのは上の3つなんだけど、実は平行四辺形の中にある4つの三角形の面積が等しいっていう特徴もあるよ。 その証明もしてみるね

 

 

① と ➂ の底辺と高さが同じなのが図からわかるよね! だから、① と ➂ の面積は等しいね。 同様に、➁ と ➃ の面積も等しい。

次に、➂ と ➃ の高さは黄色で共通で等しくて、底辺も等しいから、➂ と ➃ の面積も等しいね。 だから、① ➁ ➂ ➃ の三角形の面積は全て等しいね!

平行四辺形の面積を対角線の長さと角度から求める

$2$ つの対角線の長さが $4$ , $6$ 、その2辺のなす角が $60°$ のとき、その平行四辺形の面積を求めよ

 

対角線は他の対角線の中点で交わるってことを利用して、図にするとこうなるね

 

 

右端の三角形に注目すると、その高さ

$3\times sin60° = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

よって、右端の三角形の面積

$\dfrac{1}{2} \times 2 \times \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

平方四辺形を対角線で分けた $4$ つの三角形の面積は等しいから、平行四辺形の面積は、

$4\times \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

だね!

まとめ

平行四辺形の面積を対角線の長さと角度から求めるのに必要な特徴は、

  • 対角線が他の対角線の中点を通る
  • 平方四辺形を構成する4つの三角形の面積は等しい

はかせちゃん

はかせもとうとう高校数学デビュー
お疲れ様でした~

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です