【中学数学】三平方の定理を利用する難問・応用【丁寧な解説】

三平方の定理を利用する難問

1辺が $2$ の正六角形の中心に点Oを取り、その真上の点をPとする。正六角形の各頂点からPまでの長さを $6$ とするとき、OPの長さを求めよ

解説

正六角形の内角の和は720°だよね　

だから、底面の正六角形の角度は全て、$720 \div 6 = 120$　だから、正六角形の各頂点から中心まで直線(各頂点からの二等分線)を引くと、下図のようになるね！

右下の三角形を見てもらえばわかる通り、正六角形の各頂点から中心に線を引くと三角形ができて、それはすべての角が60°になるから、正三角形だね！　正三角形ということは、すべての辺の長さが等しい。　つまり、下図のようになるよ！

ということは、各頂点から点Pまでの長さが $6$ だから、三平方の定理を用いると、

$x^2 = 6^2 – 2^2 $

∴ $x^2 = 36-4=32$

∴ $x = 4\sqrt{2}$  (x>0より)

これを図にするとこう！

終わり！