【中学数学】扇形の中心角の求め方3パターン【ピザでわかる】

はかせちゃん

このブログは、はかせのワンオペです(*’▽’)

扇形の中心角を求める公式

扇形の中心角を求める公式は、

$x=\dfrac{180\times 弧の長さ}{\pi \times 半径}$

弧の長さ= L、半径= r とすると、$x=\dfrac{180L}{\pi r}$だよ

公式は忘れちゃったら解けないし、これを覚えるのは大変だよ

だから、きっちり本質を理解しようね

はかせちゃん

はかせOfficial

中心角の求め方概観

公式よりも、覚えておくべきことはこの2つだよ

それがどうやって求まるかというと、

この2つさえ覚えていれば、中心角を求めるだけじゃなくて

面積や弧の長さを求める問題にも対応できるようになる

じゃあ、具体的に見ていこうね

具体的に解く

中心角の求め方の問題は3パターン考えられるよ

  1. 弧の長さと半径が分かっている場合
  2. 面積と半径が分かっている場合
  3. 弧の長さと面積が分かっている場合

じゃあ、順番に見ていこう!

弧の長さと半径が分かっている場合

このビスマルクピザ(扇形)の中心角を求めていくよ

戦略はこうだよ

  1. 半径からピザ(円)円周(弧の長さ)をもとめる
  2. ピザ(扇形)ピザ(円)弧の長さ中心角比例式を作る
  3. 比例式を解く

じゃあ、やっていこう!

半径が9だから、ピザ(円)の円周は $2\times 9\times\pi=18\pi$ だね

円周の求め方や円周率について忘れちゃった人は、

円周や円周率についてわかる記事を読んでみてね

比例式はこんな感じになるね

 比例式をさくっと解いていくよ

$x \times 18\pi = 360\times 14\pi$

∴  $x = \dfrac{360\times 14\pi}{18\pi }$

∴  $x = \dfrac{40\times 7}{1}$

∴  $x = 280$

これで求まったね!

残りの問題パターンもほとんど一緒だよ 

はかせちゃん

このビスマルクピザは、はかせのビスマルクピザですっ

面積と半径が分かっている場合

ここはやることはほとんど一緒だから戦略だけ書くね

戦略はこうだよ

  1. 半径から面積をもとめる
  2. 扇形の面積円の面積中心角比例式を作る
  3. 比例式を解く

はかせちゃん

はかせがさぼったとか言わないよね?ね?

弧の長さと面積が分かっている場合

※面積は63πの誤りでした💦

戦略はこうだよ

  1. 弧の長さ面積から半径をもとめる
  2. 半径から円周(弧の長さ)を求める
  3. 扇形弧の長さ中心角比例式を作る
  4. 比例式を解く

つまり、 の作業分増えるだけだね

けど、この作業は連立方程式も解かないといけないから

意外と大変。

だから、別解を紹介するね

別解の戦略はこちら

  1. 弧の長さ面積の式を連立させる
  2. 連立方程式を解く

やっていくよー

 弧の長さ面積の式はそれぞれこうなるよね

$14\pi = 2\pi r \times \dfrac{x}{360}$-①

$63\pi=\pi r^2 \times \dfrac{x}{360}$-➁

 じゃあ、さくっと解いていくよ

①を変形して、$ r = \dfrac{14\pi \times 360}{2\pi \times x}=\dfrac{7 \times 360}{x}$ 

これを➁に代入して、

$63\pi$ $=$ $\pi (\dfrac{7 \times 360}{x})^2 \times \dfrac{x}{360}$ $=$ $\pi \times \dfrac{7^2 \times 360}{x}$

∴  $x=\dfrac{49 \times 360}{63}=280$

まとめ

  1. 弧の長さ・面積・半径・中心角のどれか2つが分かれば、残りは求まるよ
  2. 扇形比較することで求まるよ
  3. 中心角を求める問題は3パターンだけだよ

はかせちゃん

意外と長かったね💦
ほんとにお疲れ様でした~

2 COMMENTS

てっちょん

扇形の面積は 63π で、②の式は
63π = π r ^2 * x / 360 とするのが正しいと思います。

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admin

ご指摘いただき誠にありがとうございます。
また、ご迷惑をおかけし、申し訳ございません。
正しい式に修正させていただきました。

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