はかせちゃん
扇形の中心角を求める公式
扇形の中心角を求める公式は、
$x=\dfrac{180\times 弧の長さ}{\pi \times 半径}$
弧の長さ= L、半径= r とすると、$x=\dfrac{180L}{\pi r}$だよ
公式は忘れちゃったら解けないし、これを覚えるのは大変だよ
だから、きっちり本質を理解しようね
はかせちゃん
中心角の求め方概観
公式よりも、覚えておくべきことはこの2つだよ
それがどうやって求まるかというと、
この2つさえ覚えていれば、中心角を求めるだけじゃなくて
面積や弧の長さを求める問題にも対応できるようになるよ
じゃあ、具体的に見ていこうね
具体的に解く
中心角の求め方の問題は3パターン考えられるよ
- 弧の長さと半径が分かっている場合
- 面積と半径が分かっている場合
- 弧の長さと面積が分かっている場合
じゃあ、順番に見ていこう!
弧の長さと半径が分かっている場合
このビスマルクピザ(扇形)の中心角を求めていくよ
戦略はこうだよ
- 半径からピザ(円)の円周(弧の長さ)をもとめる
- ピザ(扇形)とピザ(円)の弧の長さと中心角で比例式を作る
- 比例式を解く
じゃあ、やっていこう!
❶ 半径が9だから、ピザ(円)の円周は $2\times 9\times\pi=18\pi$ だね
円周の求め方や円周率について忘れちゃった人は、
円周や円周率についてわかる記事を読んでみてね
❷ 比例式はこんな感じになるね
❸ 比例式をさくっと解いていくよ
$x \times 18\pi = 360\times 14\pi$
∴ $x = \dfrac{360\times 14\pi}{18\pi }$
∴ $x = \dfrac{40\times 7}{1}$
∴ $x = 280$
これで求まったね!
残りの問題パターンもほとんど一緒だよ
はかせちゃん
面積と半径が分かっている場合
ここはやることはほとんど一緒だから戦略だけ書くね
戦略はこうだよ
- 半径から円の面積をもとめる
- 扇形の面積と円の面積と中心角で比例式を作る
- 比例式を解く
はかせちゃん
弧の長さと面積が分かっている場合
※面積は63πの誤りでした💦
戦略はこうだよ
- 弧の長さと面積から半径をもとめる
- 半径から円の円周(弧の長さ)を求める
- 扇形と円の弧の長さと中心角で比例式を作る
- 比例式を解く
つまり、❶ の作業分増えるだけだね
けど、この作業は連立方程式も解かないといけないから
意外と大変。
だから、別解を紹介するね
別解の戦略はこちら
- 弧の長さと面積の式を連立させる
- 連立方程式を解く
やっていくよー
❶ 弧の長さと面積の式はそれぞれこうなるよね
$14\pi = 2\pi r \times \dfrac{x}{360}$-①
$63\pi=\pi r^2 \times \dfrac{x}{360}$-➁
❷ じゃあ、さくっと解いていくよ
①を変形して、$ r = \dfrac{14\pi \times 360}{2\pi \times x}=\dfrac{7 \times 360}{x}$
これを➁に代入して、
$63\pi$ $=$ $\pi (\dfrac{7 \times 360}{x})^2 \times \dfrac{x}{360}$ $=$ $\pi \times \dfrac{7^2 \times 360}{x}$
∴ $x=\dfrac{49 \times 360}{63}=280$
まとめ
- 弧の長さ・面積・半径・中心角のどれか2つが分かれば、残りは求まるよ
- 扇形と円を比較することで求まるよ
- 中心角を求める問題は3パターンだけだよ
はかせちゃん
ほんとにお疲れ様でした~
扇形の面積は 63π で、②の式は
63π = π r ^2 * x / 360 とするのが正しいと思います。
ご指摘いただき誠にありがとうございます。
また、ご迷惑をおかけし、申し訳ございません。
正しい式に修正させていただきました。