【中学数学】相似な図形の証明問題のコツ【ちょい難問】

図形の証明問題の流れを確認

さっそくだけど、今回取り掛かる問題がこちら

四角形ABCDにおいて対角線AC, BCの交点をEとする。∠ABE=∠EBC, CD=DEが成り立っているとき、△ABE∽△CBDとなることを証明せよ。

少し難しいかな？

でも、証明問題の流れを確認して、その通りにやっていけば

それほど難しくないからね

じゃあ、図形の証明問題の流れを確認していくよ

証明問題の流れはこちらです

ぱっと見難しく感じるかもしれないけど、

これからしっかり説明していくから心配しないでね

じゃあ、順番に見ていくよ

ゴール地点(結論)を確認する

このパートでは、結論を確認して必要な条件を確認するよ

今回の問題の結論は、△ABE∽△CBDとなること

これが言えるために必要な条件は、

ここが分からない人は、

証明じゃなくて相似条件がわかっていない可能性が高いよ

条件を覚えていない間は見ながら問題解いても OK だからね

大事なのは、証明の流れをきちんと理解していること

仮定を確認する

 ゴールが見えたところで、仮定を確認していくよ

今回の仮定は、２つあるね

１つ目：∠ABE=∠EBC 

これで、△ABEと△CBDの角の１つが等しいことが分かったね

２つ目：CD=DE 

CD は結論の三角形△CBDに関係しているけど、

DE は絡んでないね。これがどう結論に関係してくるのか

考えるのが大事。一度自分で考えてみてね。

ここでは、CDとDEはどちらも△CDE の辺であることに注目できるかがポイント

そうすると何か見えてこないかな？

△CDEは二等辺三角形だね

そして、“二等辺三角形”ということは”２角が等しい”ことがすぐに連想されるのが大事

この問題では、∠DCE,  ∠DEC が等しいことになるね

仮定からわかることはこれくらいっぽいね

ここまでの条件をまとめるとこうなるよ

結論条件不足分の確認

ここで結論に必要な条件を再び確認してみるよ

赤文字にしたのは、

仮定から、△ABEと△CBDの角の１つが等しいことが分かったから

この２つの条件がリーチになっていて、使う可能性が高いからだよ

こういう風にして、条件を確認するごとに、

この後の展開の可能性を”絞っていく”, “意識する”のが証明のポイントだよ

２つ目の仮定からは、△CBDの１辺が等しいことと１角が注目されたから

赤文字の２条件から絞れないように思えるけど、

今回は相似だから、辺の長さが等しいだけでは使えないから

この条件が結論に結びつく可能性が高いよ

逆に、辺の具体的な長さが書かれていた場合は、

条件として、辺の比が等しいが入ってくる可能性が高いよ

ちなみに、この問題の結論が合同を示せなら、条件は２つから絞れないね

 ２組の角が等しいことを言うには、

あとは∠BAE か ∠BEA が ∠BCD と等しいことが言えればいいね

条件の不足分がわかったところで、次に進むよ

不足分の発想

∠BAE か ∠BEA が ∠BCD と等しいことを見つけるだと、

対象が∠BAE か ∠BEA の２つあるから、順に見ていこう

まずは、∠BEA と ∠BCD が等しいことを示せないか見てみる

すると、何か気づかないかな

∠AEB と ∠CED が対頂角だから等しいよね！

ということは、∠BEA が ∠BCD が等しくて…

この条件がそろったね！

今回の問題ではこれで条件が全部そろったから、答案を書いていくよ

答案を書く

証明の解答は次の３つのパーツに分けることができるよ

詳しい説明は、

図形の証明問題の解き方【すごく苦手な人もOK】の

答案を書くのパートを見てみてね！

この3つのパーツを利用して今回の証明の答案を書くとこうなるよ 

全く同じ文章である必要はないから、気軽に書いてね

似たようなことが書いてあれば OK だよ

証明の書き方は数題とけば慣れるしね

まとめ

答案を書くところとか、証明には慣れが必要な部分もあるけど

慣れたら難しくないから、とにかく問題を解いてみてね！

他の証明問題はこちら

【中学数学】図形の証明問題の解き方【すごく苦手な人もOK】