【中1数学】中1で解ける難問－厳選５題【丁寧な解説付き】

問題一覧

・難問１(文字式・正負の数)

・難問２(1次方程式・正負の数)

・難問３(関係を表す式・不等号・割合)

・難問４(関係を表す式・等式・規則性)

・難問５(関係を表す式・複雑)  ※中2範囲の連立方程式の知識が必要な問題でした

難問１(文字式・正負の数)

$a=3,   b=-\dfrac{1}{3}$のとき,   $13a^2b \times -\dfrac{5}{8}a^3b^2 \div (\dfrac{1}{4}ab)^2$ の値を求めよ

解説

 POINT：

いきなり代入してしまうと計算がすごく複雑になるから、

先に文字式を簡単にしていくことが大事だよ

先に定数は計算せずに、置いておくと

計算が簡単になって、

時短・ミス減少になることが多いよ

  解答：

$13a^2b \times -\dfrac{5}{8}a^3b^2 \div (\dfrac{1}{4}ab)^2$

$=-\dfrac{13\times5}{8}a^5b^3 \times \dfrac{4^2}{a^2 b^2}$

$=-\dfrac{13\times 5 \times 4^2}{8}a^3b$

$=\dfrac{13\times 5 \times 4^2 \times 3^3}{8 \times 3}$

$=13\times 5 \times 2 \times 3^2$

$=1170$

難問２(1次方程式・正負の数)

$3(\dfrac{x+1}{5}-2)+5 =$$ \dfrac{3}{4}(\dfrac{3x+2}{3}+7)$ を解け

解説

 POINT：

複雑な問題になればなるほど、計算ミスは起こってくるよ

計算ミスの原因は、

• 複数の計算を同時にする(途中式を省く)
• 字が汚くて見間違える

が多いよ

だから、途中式はしっかり書こう

また、複雑な問題には計算順序などを工夫することで簡単になる問題が多い

だから、計算が簡単になるにはどうすれば考える姿勢を常に持っておこう

  解答：

$3(\dfrac{x+1}{5}-2)+5 =$$ \dfrac{3}{4}(\dfrac{3x+2}{3}+7)$

∴ $3(\dfrac{x+1}{5}-2+\dfrac{5}{3}) = \dfrac{3}{4}(\dfrac{3x+2}{3}+7)$

∴ $3(\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{3}{4}(\dfrac{3x+2}{3}+7)$

∴ $4(\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{1}{3}) = (\dfrac{3x+2}{3}+7)$

∴ $\dfrac{4 \cdot (x+1)}{5}-\dfrac{4 \cdot 1}{3} = \dfrac{3x+2}{3}+7$

∴ $3 \cdot 4(x+1)-5 \cdot 4 = 5(3x+2)+15 \cdot 7$

∴ $12x+12-20 = 15x+10+105$

∴ $-3x = 123$    ∴ $x = -41$

難問３(関係を表す式・不等号・割合)

次の文章の関係を、不等号を用いて表せ。去年はひよこ(大)がx匹、ねこがy匹だったが今年は去年に比べてひよこ(大)が8%減って、ねこが3%増えたので、今年はひよこ(大)よりねこの数のほうが多い。

解説

 POINT：

結論から順に考えるというのは、

今回の場合なら、

今年の　ひよこ(大)の数　＜　ねこの数

まずはこれが結論だね

今年のひよこ(大)の数は、

去年のひよこの数＋今年増加したひよこの数

だから、

$x+(-\dfrac{8}{100}x)$$=$$\dfrac{92}{100}x$

同じようにして、今年のひよこの数は

$y+\dfrac{3}{100}y$$=$$\dfrac{103}{100}y$

最後は、ひよこ(大)の数　＜　ねこの数　に当てはめるだけだね

  解答：

$\dfrac{92}{100}x < \dfrac{103}{100}y$

難問４(関係を表す式・等式・規則性)

ペットボトル $400$ 本を使って、以下のような図形を作った。このとき、正方形はいくつできるか答えなさい。

解説

 POINT：

今回の場合なら、

まず一つ目の正方形を作るのには

４本ペットボトルが必要になるよね

二つ目は追加して、３本ペットボトルが必要になる

三つ目も追加して、３本ペットボトルが必要になる

四つ目も追加して、３本ペットボトルが必要になる…

もうわかったかな、初めの１つは４つで、それ以降は３つずつ足していく

が規則だね

じゃあ、これを式に表すと、$x$ 個の正方形を作るには

$4+3(x-1)$ 個のペットボトルが必要だね

ちなみに、$4$ は、はじめの１つに必要な本数。

$3(x-1)$ は、初めの１つ以外の正方形を作るのに必要な本数

じゃあ、400個のペットボトルがあれば、

$4+3(x-1)=400$ を解けばいくつの正方形が作れるか出るね

 解答：

$4+3(x-1)=400$

∴  $4+3x-3=400$

∴  $3x=399$    ∴  $x=133$

A. $133個作れる$

難問５(関係を表す式・複雑)

※中2範囲の連立方程式の知識が必要な問題でした

連立方程式がわかる人のみ挑戦してください。

超巨大プリンを作るために、容積が1800Lの特殊容器を用意した。プリンの溶液が流れてくる魔法の川から特殊容器にプリン液を移し替えるために、ポンプA，Bを同時に50分間運転し、1000Lたまったところで中断した。そこに、ポンプAを4台追加し運転を再開したところ、10分後に特殊容器はいっぱいになった。このとき、ポンプA，Bが1分間にくみ上げるプリン溶液の量は、それぞれ何Lか求めなさい。

解説

 POINT：

今回は、ポンプA，Bが1分間にくみ上げるプリン溶液の量

つまり、速さ(L/分)が求めるものだから、

ポンプAが1分間にくみ上げるプリン溶液の量を $x$

ポンプBが1分間にくみ上げるプリン溶液の量を $y$

と置くよ。

じゃあ、変数は２つだから、方程式も２つ必要だね！

次に問題文の変化ポイントを探していくよ

今回は、

ポンプA，Bを同時に50分間運転し、1000Lたまったところで中断した。

ここが明らかに場面の変化ポイントだよね

だから、この前後で方程式が立てれないか考えてみるよ

すると、

ポンプA，Bを同時に50分間運転し、1000Lたまったところで中断した。

　　➡　$50x+50y=1000$

ポンプAを4台追加し運転を再開したところ、10分後に特殊容器はいっぱいになった。

　　➡　$10\times (1+4)x + 10y = (1800-1000)$

って式が立てられるよね！

あとは、この連立方程式を解くだけだよ

 解答：

「ポンプA，Bが1分間にくみ上げるプリン溶液の量」

をそれぞれ $x, y$ と置く。

すると、方程式

$50x+50y=1000$－➀

$10\times (1+4)x + 10y = (1800-1000)$－➁

をたてることができ、これらを連立させて解く。

$10\times (1+4)x + 10y = (1800-1000)$

∴  $50x + 10y = 800$

∴  $5x + y = 80$

∴  $y = 80-5x$－➂

これを①に代入し、

$50x+50(80-5x)=1000$

∴  $x+(80-5x)=20$

∴  $-4x=-60$    ∴  $x=15$

これを➂に代入し、

$y = 80-5 \times 15 = 5$

A. ポンプA : $15$L，ポンプB : $5$L

まとめ

入試問題の類題も何問か含まれてたから、これが解けたら

図形問題以外の中1範囲はほぼ完ぺきと言っていいと思うよ

この調子で勉強頑張っていこう！

もっと難問を解きたい人は、

入試問題を公開してくれてるサイト

で難問に挑戦してみてね