【中学数学】サイコロの確率の計算方法と特徴【入試問題２０題を解析】

確率の入試問題２０題の解析結果

確率問題２０題を解析して、わかったことを紹介するよ

※7都道府県(2018～2016年)を分析

サイコロ題材の割合

解析の結果、サイコロ題材の割合はこうなったよ

サイコロが明らかに多い！！

さいころが全体の半分くらいを占めてるね

サイコロの個数は２個！

なんと、サイコロの個数は１１題全て２個だったよ

1個だけの簡単過ぎるやつや、3個とか複雑になりすぎる問題は出ないんだね～

 サイコロの題材にはどんなパターンがあるのか

サイコロの問題は、

「サイコロの目の 和・差・積・除・大小 が $x$」系の問題　に、

「A,Bのサイコロの目をa, b とする」　

という文言が入ることで、対称性が消えるかどうかでした。

具体的に言うと、

A, B二つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が１２である確率はいくらですか

これは、「積」の問題に「A,Bのサイコロの目をa, bとする」が入らない場合

A, B二つのさいころを同時に投げ，Aのさいころの出る目の数をa，Bのさいころの出る目の数をb とするとき，b/aが整数である確率はいくらですか。

これは「除」の問題に「A,Bのサイコロの目をa, bとする」が入る場合だね

みたいな感じだよ！

でも、サイコロの問題はどんなパターンが来ても、

あまり解き方は変わらないよ。じゃあ、これらを踏まえて

どうすれば解けるようになるのか解説していくよー！

サイコロの確率問題の流れ

これだけだよ

注意点

だから、今後もずっと使える解き方を解説していくよ

じゃあ、さっそくやっていこう！

組み合わせを求める

今回見ていくのはこの問題

A, B二つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が１２である確率はいくらですか

まず求めるのは「組み合わせ」

組み合わせっていうのは、

サイコロA,Bの２つの出た目を

( “Aの出た目”, “Bの出た目” )と表すとすると、

( 2, 3 ) と ( 3, 2 ) を区別しないのが「組み合わせ」

逆に、区別するのを「順列」というよ

２つのサイコロの場合、組み合わせを求めるのは

順列を求める手間の半分で済むよ

３つ以上になれば半分以下になり、すごく手間が削減されるよ

順列を求めるには、組み合わせからぞろ目

例えば、( 2, 2 )の場合等を除いて、２倍すればいいだけだよ

組み合わせの求め方

組み合わせを求めるときのポイントは、

少ない数から順に考えていく

小さい数から数えるというルールを決めることで、数え漏れが出にくくなるよ

サイコロAの方がBより小さい目の場合だけを考える

Aの方が大きい場合も考えると、それは順列を求めたことになるよ

つまり、手間が減ってないよ

じゃあ、具体的にやってみよう

Aが１のとき、６までの数で掛けて１２になるのはないよね

Aが２のとき、６だけが掛けて１２になる

Aが３のとき、４だけが掛けて１２になるね

Aが４以上の場合は、AよりBの方が大きくなってしまうので考えないよ

だから、組み合わせは次の２つだね

( 2, 6 ) , ( 3, 4 )

順列を求める

 今回の問題では、組み合わせは

( 2, 6 ) , ( 3, 4 ) の２組で、( 3, 3 ) みたいなぞろ目のものがないから

順列の数は $2 \times 2 = 4$ で、$4$ つだね

具体的には、( 2, 6 ) , ( 3, 4 ) , ( 6, 2 ) , ( 4, 3 ) だよ

「条件に当てはまる数」/「全体の数」をする

最後に、「条件に当てはまる数」/「全体の数」をして確率を出すよ

条件に当てはまる数っていうのは順列の数そのものだよ

つまり、( 2, 6 ) , ( 3, 4 ) , ( 6, 2 ) , ( 4, 3 ) この４つ

全体の数は “サイコロAの出目の総数 × サイコロBの出目の総数”

つまり、$6 \times 6 = 36$ だよ

だから、求めたい確率は、

$\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$ だね

「A,Bのサイコロの目をa, bとする」が入る問題

この文が入る場合には、

組み合わせの数え方が変わってくるよ

「A,Bのサイコロの目をa, bとする」がない場合は、

って説明したんだけど、

「A,Bのサイコロの目をa, bとする」が入っている場合、例えば

A, B二つのさいころを同時に投げ，Aのさいころの出る目の数をa，Bのさいころの出る目の数をb とするとき，b/aが整数である確率はいくらですか。

みたいな場合だと、a と b の対称性がなくなってしまう

だから、

だけでは不十分なことがわかるかな

こういう場合は面倒だけど、a が $1～6$ の場合まですべて

数えていく必要がある

全ての順列は以下の $14$ 通り

( 1, 1 ) , ( 1, 2 ) , ( 1, 3 ) , ( 1, 4 ) , ( 1, 5 ) , ( 1, 6 )

( 2, 2 ) , ( 2, 4 ) , ( 2, 6 ) , ( 3, 3 ) , ( 3, 6 ) , ( 4, 4 ) , ( 5,  5 ) , ( 6, 6 )

全体の数はサイコロが $2$ 個しかないので、今回も $36$ 通り

だから、「条件に当てはまる数」/「全体の数」をして

求めたい確率は、$\dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18}$ だね