中学数学が秒でわかる！正三角形の中に正三角形がある図形の証明【超・解説付き】

問題

正三角形 ABC の3辺 AB, BC, CA 上に、それぞれ点 D, E, F をとる。AD = BE = CF のとき、三角形 DEF が正三角形になることを証明せよ。

証明は結論から考える

図形の証明問題って何からしていいかさっぱりわからないよね

まずは、結論から考えてみよう！

証明問題はゴールが与えられている問題なんだから、使わないと損だよね

よし、三角形 DEF が正三角形になるってことを証明すればいいのか

そのためには、三角形 DEF が正三角形の条件を満たすよってことを言ってあげればいいよね

正三角形の条件

正三角形であるといえる条件は３つあるよ

• 3辺の長さが全て等しい
• 3つの角の大きさが全て等しい ( 60° )
• 2辺の長さが等しく、その間の角が 60°

戦略を立てる

この問題の場合は、見た目的に偏りのない図形だから、なんとなく1つ目か2つ目の条件が使えそうだね

1つ目の条件の場合は、三角形 DEF に隣接してる細長い３つの三角形が全て等しいことが言えたら良さそうだね

あれ、2つ目の条件の場合も細長い３つの三角形が全て等しいことが言えたら良さそうジャン

ということで、細長い３つの三角形が全て等しいことを証明してみよう！

証明の鍵は問題文に必ずある

だいたいの戦略が決まったら、問題文の見直しを行うよ

問題文には、証明に必要な条件が 必ず 書いてあるからね

よし、問題をここで再掲しとこうか

正三角形 ABC の3辺 AB, BC, CA 上に、それぞれ点 D, E, F をとる。AD = BE = CF のとき、三角形 DEF が正三角形になることを証明せよ。

えーっと、AD = BE = CF ってことは、3つの細長△の1辺が等しいことが分かったね

次に、△ABC が正三角形ってことは、∠A, ∠B, ∠C は全て等しいよね

というこは、3つの細長△が合同(等しい)っていうためには、AF = CE = BD ってことが言えれば終わり！(なんでだよって人は、下の補足をみてね)

△ABC が正三角形ってことは、AB = BC = CA だから、AD = BE = CF と合わせると、AB – AD = BC – BE = CA – CF → AF = CE = BD 

ということは、AD = BE = CF、∠A =∠B = ∠C、AF = CE = BD から、2辺とその間の角が等しいから合同だね！

つまり、DE = EF = FD ってことが言えるから、△DEF は正三角形！

フローチャートを使ったりして、

証明問題の解き方を詳しく解説している記事はこちら

【中学数学】図形の証明問題の解き方【すごく苦手な人もOK】

【中学数学】相似な図形の証明問題のコツ【ちょい難問】

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