中学数学が秒でわかる!正三角形の中に正三角形がある図形の証明【超・解説付き】

はかせちゃん

この問題わからない人多いよね
はかせの思考をそのまま説明するから期待しててね

問題

正三角形 ABC の3辺 AB, BC, CA 上に、それぞれ点 D, E, F をとる。AD = BE = CF のとき、三角形 DEF が正三角形になることを証明せよ。

問題の図

 

証明は結論から考える

図形の証明問題って何からしていいかさっぱりわからないよね

まずは、結論から考えてみよう!

証明問題はゴールが与えられている問題なんだから、使わないと損だよね

よし、三角形 DEF が正三角形になるってことを証明すればいいのか

そのためには、三角形 DEF が正三角形の条件を満たすよってことを言ってあげればいいよね

はかせちゃん

正三角形の条件は覚えてる?3つ全部言える君は、はかせの助手にしてあげますっ

正三角形の条件

正三角形であるといえる条件は3つあるよ

  • 3辺の長さが全て等しい
  • 3つの角の大きさが全て等しい ( 60° )
  • 2辺の長さが等しく、その間の角が 60°
補足
3つ目の条件は、2辺の長さとその間の角が分かれば三角形はただひとつに決まるという性質を利用した条件だよ

戦略を立てる

この問題の場合は、見た目的に偏りのない図形だから、なんとなく1つ目か2つ目の条件が使えそうだね

1つ目の条件の場合は、三角形 DEF に隣接してる細長い3つの三角形が全て等しいことが言えたら良さそうだね

あれ、2つ目の条件の場合も細長い3つの三角形が全て等しいことが言えたら良さそうジャン

ということで、細長い3つの三角形が全て等しいことを証明してみよう!

はかせちゃん

ふっふっふ、いける…いけるぞ…。この戦略さえあれば ‼

証明の鍵は問題文に必ずある

だいたいの戦略が決まったら、問題文の見直しを行うよ

問題文には、証明に必要な条件が 必ず 書いてあるからね

よし、問題をここで再掲しとこうか

正三角形 ABC の3辺 AB, BC, CA 上に、それぞれ点 D, E, F をとる。AD = BE = CF のとき、三角形 DEF が正三角形になることを証明せよ。

問題の図

えーっと、AD = BE = CF ってことは、3つの細長△の1辺が等しいことが分かったね

次に、△ABC が正三角形ってことは、∠A, ∠B, ∠C は全て等しいよね

というこは、3つの細長△が合同(等しい)っていうためには、AF = CE = BD ってことが言えれば終わり!(なんでだよって人は、下の補足をみてね)

△ABC が正三角形ってことは、AB = BC = CA だから、AD = BE = CF と合わせると、AB – AD = BC – BE = CA – CF → AF = CE = BD 

ということは、AD = BE = CF、∠A =∠B = ∠C、AF = CE = BD から、2辺とその間の角が等しいから合同だね!

つまり、DE = EF = FD ってことが言えるから、△DEF は正三角形!

補足
三角形が合同である条件
・3組の辺がそれぞれ等しい。
・2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
・1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
これは頑張って覚えておいてね

はかせちゃん

ふーっ、やっと終わった~
皆もお疲れ様でした~

フローチャートを使ったりして、

証明問題の解き方を詳しく解説している記事はこちら

【中学数学】図形の証明問題の解き方【すごく苦手な人もOK】 【中学数学】相似な図形の証明問題のコツ【ちょい難問】

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