はかせちゃん
はかせの思考をそのまま説明するから期待しててね
問題
正三角形 ABC の3辺 AB, BC, CA 上に、それぞれ点 D, E, F をとる。AD = BE = CF のとき、三角形 DEF が正三角形になることを証明せよ。

証明は結論から考える
図形の証明問題って何からしていいかさっぱりわからないよね
まずは、結論から考えてみよう!
証明問題はゴールが与えられている問題なんだから、使わないと損だよね
よし、三角形 DEF が正三角形になるってことを証明すればいいのか
そのためには、三角形 DEF が正三角形の条件を満たすよってことを言ってあげればいいよね
はかせちゃん
正三角形の条件
正三角形であるといえる条件は3つあるよ
- 3辺の長さが全て等しい
- 3つの角の大きさが全て等しい ( 60° )
- 2辺の長さが等しく、その間の角が 60°
戦略を立てる
この問題の場合は、見た目的に偏りのない図形だから、なんとなく1つ目か2つ目の条件が使えそうだね
1つ目の条件の場合は、三角形 DEF に隣接してる細長い3つの三角形が全て等しいことが言えたら良さそうだね
あれ、2つ目の条件の場合も細長い3つの三角形が全て等しいことが言えたら良さそうジャン
ということで、細長い3つの三角形が全て等しいことを証明してみよう!
はかせちゃん
証明の鍵は問題文に必ずある
だいたいの戦略が決まったら、問題文の見直しを行うよ
問題文には、証明に必要な条件が 必ず 書いてあるからね
よし、問題をここで再掲しとこうか
正三角形 ABC の3辺 AB, BC, CA 上に、それぞれ点 D, E, F をとる。AD = BE = CF のとき、三角形 DEF が正三角形になることを証明せよ。

えーっと、AD = BE = CF ってことは、3つの細長△の1辺が等しいことが分かったね
次に、△ABC が正三角形ってことは、∠A, ∠B, ∠C は全て等しいよね
というこは、3つの細長△が合同(等しい)っていうためには、AF = CE = BD ってことが言えれば終わり!(なんでだよって人は、下の補足をみてね)
△ABC が正三角形ってことは、AB = BC = CA だから、AD = BE = CF と合わせると、AB – AD = BC – BE = CA – CF → AF = CE = BD
ということは、AD = BE = CF、∠A =∠B = ∠C、AF = CE = BD から、2辺とその間の角が等しいから合同だね!
つまり、DE = EF = FD ってことが言えるから、△DEF は正三角形!
・3組の辺がそれぞれ等しい。
・2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
・1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
これは頑張って覚えておいてね
はかせちゃん
皆もお疲れ様でした~
フローチャートを使ったりして、
証明問題の解き方を詳しく解説している記事はこちら


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